题目内容

已知椭圆经过点,且两焦点与短轴的两个端点的连线构成一正方形.(12分)
(1)求椭圆的方程;
(2)直线与椭圆交于两点,若线段的垂直平分线经过点,求
为原点)面积的最大值.
(1);(2) 面积的最大值为.

试题分析:(1)两焦点与短轴的两个端点的连线构成一正方形,可知,又在椭圆上,可得的值;(2)可得直线直线有斜率,当直线的斜率为时,则的垂直平分线为轴,,当直线的斜率不为时,则设的方程为,与椭圆方程联立可得,方程有两个不同的解又
由弦长公式求出,又原点到直线的距离为,那么,可得时,取得最大值.
试题解析:(1)∵椭圆的两焦点与短轴的两个端点的连线构成正方形,
,∴,             2分
又∵椭圆经过点,代入可得
∴故所求椭圆方程为                 4分
(2)设因为的垂直平分线通过点,显然直线有斜率,
当直线的斜率为时,则的垂直平分线为轴,此时
所以,因为,所以

所以,当且仅当时,取得最大值为,     6分
当直线的斜率不为时,则设的方程为
所以,代入得到         
,   即                          
方程有两个不同的解又         
所以,又,化简得到    -----8分
代入,得到               
又原点到直线的距离为

所以
考虑到化简得到              10分
因为,所以当时,即时,取得最大值.
综上,面积的最大值为            12分
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