题目内容
已知椭圆经过点,且两焦点与短轴的两个端点的连线构成一正方形.(12分)
(1)求椭圆的方程;
(2)直线与椭圆交于,两点,若线段的垂直平分线经过点,求
(为原点)面积的最大值.
(1)求椭圆的方程;
(2)直线与椭圆交于,两点,若线段的垂直平分线经过点,求
(为原点)面积的最大值.
(1);(2) 面积的最大值为.
试题分析:(1)两焦点与短轴的两个端点的连线构成一正方形,可知,又在椭圆上,可得的值;(2)可得直线直线有斜率,当直线的斜率为时,则的垂直平分线为轴,,当直线的斜率不为时,则设的方程为,与椭圆方程联立可得,方程有两个不同的解又,
由弦长公式求出,又原点到直线的距离为,那么,可得时,取得最大值.
试题解析:(1)∵椭圆的两焦点与短轴的两个端点的连线构成正方形,
∴,∴, 2分
又∵椭圆经过点,代入可得,
∴故所求椭圆方程为 4分
(2)设因为的垂直平分线通过点,显然直线有斜率,
当直线的斜率为时,则的垂直平分线为轴,此时
所以,因为,所以
所以,当且仅当时,取得最大值为, 6分
当直线的斜率不为时,则设的方程为
所以,代入得到
当, 即
方程有两个不同的解又,
所以,又,化简得到 -----8分
代入,得到
又原点到直线的距离为
所以
考虑到且化简得到 10分
因为,所以当时,即时,取得最大值.
综上,面积的最大值为 12分
练习册系列答案
相关题目