Question

14．在△ABC中，内角A，B，C所对的边为a，b，c，若b=1，c=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，求4sinCcos（C+$\frac{π}{6}$）的最小值．

Answer 1

分析 根据正弦定理分别求出sinC的取值范围即可求角C的取值范围，利用三角函数的公式进行化简，即可求4sinCcos（C+$\frac{π}{6}$）的最小值．

解答 解：由正弦定理，得$\frac{1}{sinB}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{sinC}$，sinC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinB．
由0＜sinB≤1，得0＜sinC≤$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
又b＞c，故C为锐角，
∴0＜C≤$\frac{π}{3}$．
∵4sinCcos（C+$\frac{π}{6}$）=4sinC（$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosC-$\frac{1}{2}$sinC）=$\sqrt{3}$sin2C-1+cos2C=2sin（2C+$\frac{π}{6}$）-1，
由0＜C≤$\frac{π}{3}$，
得$\frac{π}{6}$＜2C+$\frac{π}{6}$≤$\frac{5π}{6}$，
故sin（2C+$\frac{π}{6}$）≥$\frac{1}{2}$，
∴4sinCcos（C+$\frac{π}{6}$）≥2×$\frac{1}{2}$-1=0（当C=$\frac{π}{3}$时取到等号），
∴4sinCcos（C+$\frac{π}{6}$）的最小值是0．

点评 本题主要考查三角函数的图象和性质的应用，利用正弦定理求出C的取值范围是解决本题的关键，考查学生的计算能力，属于中档题．