Question

17．已知椭圆C₁：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）与圆C₂：x²+y²=b²，若在椭圆C₁上存在点P，过P作圆的切线PA，PB，切点为A，B使得∠BPA=$\frac{π}{3}$，则椭圆C₁的离心率的取值范围是（　　）

• A． $[\frac{{\sqrt{3}}}{2}，1）$
• B． $[\frac{{\sqrt{2}}}{2}，\frac{{\sqrt{3}}}{2}]$
• C． $[\frac{{\sqrt{2}}}{2}，1）$
• D． $[\frac{1}{2}，1）$

Answer 1

分析 利用O、P、A、B四点共圆的性质及椭圆离心率的概念，综合分析即可求得椭圆C的离心率的取值范围．

解答 解：连接OA，OB，OP，依题意，O、P、A、B四点共圆，
∵∠BPA=$\frac{π}{3}$，∠APO=∠BPO=$\frac{π}{6}$，
在直角三角形OAP中，∠AOP=$\frac{π}{3}$，
∴cos∠AOP=$\frac{b}{|OP|}$=$\frac{1}{2}$，∴|OP|=$\frac{b}{\frac{1}{2}}$=2b，
∴b＜|OP|≤a，∴2b≤a，
∴4b²≤a²，即4（a²-c²）≤a²，
∴3a²≤4c²，即$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}≥\frac{3}{4}$，
∴$\frac{\sqrt{3}}{2}≤e$，又0＜e＜1，∴$\frac{\sqrt{3}}{2}$≤e＜1，
∴椭圆C的离心率的取值范围是[$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1），
故选：A．

点评 本题考查椭圆的离心率，考查四点共圆的性质及三角函数的概念，考查转化与方程思想，属于难题．