题目内容
【题目】已知函数.
(1)讨论的单调性;
(2)若存在两个极值点
,证明:
.
【答案】(1)当时,
在
单调递减.,
当时,
在
单调递减,在
单调递增.
(2)证明见解析.
【解析】分析:(1)首先确定函数的定义域,之后对函数求导,之后对进行分类讨论,从而确定出导数在相应区间上的符号,从而求得函数对应的单调区间;
(2)根据存在两个极值点,结合第一问的结论,可以确定
,令
,得到两个极值点
是方程
的两个不等的正实根,利用韦达定理将其转换,构造新函数证得结果.
详解:(1)的定义域为
,
.
(i)若,则
,当且仅当
,
时
,所以
在
单调递减.
(ii)若,令
得,
或
.
当时,
;
当时,
.所以
在
单调递减,在
单调递增.
(2)由(1)知,存在两个极值点当且仅当
.
由于的两个极值点
满足
,所以
,不妨设
,则
.由于
,
所以等价于
.
设函数,由(1)知,
在
单调递减,又
,从而当
时,
.
所以,即
.
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