Question

如图四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠ACB=90°，PA⊥平面ABCD，F是BC的中点．
（1）求证：DA⊥平面PAC；
（2）试在线段PD上确定一点G，使CG∥平面PAF，并说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用平行四边形的性质和平行线的性质可得AD⊥AC，再利用线面垂直的性质可得PA⊥AC，利用线面垂直的判定定理即可证明；
（2）设PD的中点为G，在平面PAD内作GH⊥PA于H，利用三角形的中位线定理可得GH，进而得到平行四边形CFGH，得到GC∥FH，利用线面平行的判定定理即可证明．
解答：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC∥AD，
∴∠ACB=∠DAC=90°，∴DA⊥AC．
∵PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥DA，又AC⊥DA，AC∩PA=A，
∴DA⊥平面PAC．
（Ⅱ）设PD的中点为G，在平面PAD内作GH⊥PA于H，则GH，
连接FH，则四边形FCGH为平行四边形，
∴GC∥FH，
∵FH?平面PAE，CG?平面PAE，
∴CG∥平面PAE，
∴G为PD中点时，CG∥平面PAE．
点评：熟练掌握平行四边形的性质和平行线的性质、线面垂直的性质、判定定理、三角形的中位线定理、平行四边形判定与性质定理、线面平行的判定定理是解题的关键．