Question

已知F₁，F₂是椭圆

x2

k+2

+

y2

k+1

=1的左、右焦点，过F₁的直线交椭圆于A，B两点，若△ABF₂的周长为8，则k的值为

 

．

Answer 1

分析：根据题意算出k＞-1，可得椭圆的长半轴a=

k+2

．由椭圆的定义算出△ABF₂的周长为4a=8，解出a=

k+2

=2，解之可得k的值．

解答：解：∵方程

x2

k+2

+

y2

k+1

=1表示焦点在x轴上的椭圆，
∴k+2＞k+1＞0，可得k＞-1．
因此a²=k+2，解得a=

k+2

．
根据椭圆的定义，得|AF₁|+|AF₂|=|BF₁|+|BF₂|=2a，
∴|AF₁|+|BF₁|+|AF₂|+|BF₂|=4a．
∵线段AB经过左焦点F₁，△ABF₂的周长为8，
∴|AB|+|AF₂|+|BF₂|=8，即|AF₁|+|BF₁|+|AF₂|+|BF₂|=4a=8，
解得a=

k+2

=2，可得k=2．
故答案为：2

点评：本题给出经过椭圆的左焦点的弦AB，在已知△ABF₂的周长为8的情况下求椭圆的方程．着重考查了椭圆的定义、标准方程和简单几何性质等知识，属于中档题．