Question

【题目】已知函数f（x）=x2﹣2ax+5（a＞1）．
（1）若函数f（x）的定义域和值域均为[1，a]，求实数a的值；
（2）若f（x）在区间（﹣∞，2]，上是减函数，且对任意的x1 ， x2∈[1，a+1]，总有|f（x1）﹣f（x2）|≤4，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵函数f（x）=x2﹣2ax+5（a＞1），∴f（x）开口向上，对称轴为x=a＞1，

∴f（x）在[1，a]是单调减函数，

∴f（x）的最大值为f（1）=6﹣2a；f（x）的最小值为f（a）=5﹣a2

∴6﹣2a=a，且5﹣a2=1

∴a=2

（2）解：函数f（x）=x2﹣2ax+5=（x﹣a）2+5﹣a2．开口向上，对称轴为x=a，

∵f（x）在区间（﹣∞，2]上是减函数，对称轴大于等于2，

∴a≥2，a+1≥3，

f（x）在（1，a）上为减函数，在（a，a+1）上为增函数，

f（x）在x=a处取得最小值，f（x）min=f（a）=5﹣a2，

f（x）在x=1处取得最大值，f（x）max=f（1）=6﹣2a，

∴5﹣a2≤f（x）≤6﹣2a，

∵对任意的x∈[1，a+1]，总有|f（x1）﹣f（x2）|≤4，

∴6﹣2a﹣（5﹣a2）≤4，解得：﹣1≤a≤3；

综上：2≤a≤3

【解析】（1）确定函数的对称轴，从而可得函数的单调性，利用f（x）的定义域和值域均是[1，a]，建立方程，即可求实数a的值．（2）可以根据函数f（x）=x2﹣2ax+5=（x﹣a）2+5﹣a2 ． 开口向上，对称轴为x=a，可以推出a的范围，利用函数的图象求出[1，a+1]上的最值问题，对任意的x∈[1，a+1]，总有|f（x1）﹣f（x2）|≤4，从而求出实数a的取值范围．
【考点精析】关于本题考查的二次函数的性质，需要了解当时，抛物线开口向上，函数在上递减，在上递增；当时，抛物线开口向下，函数在上递增，在上递减才能得出正确答案．