题目内容

如图所示，已知A，B，C是椭圆 $数学公式$ 上的三点，其中点A的坐标为 $数学公式$ 过椭圆的中心O，且AC⊥BC，|BC|=2|AC|．
（Ⅰ）求点C的坐标及椭圆E的方程；
（Ⅱ）若椭圆E上存在两点P，Q，使得∠PCQ的平分线总是垂直于x轴，试判断向量 $数学公式$ 与 $数学公式$ 是否共线，并给出证明．

解：（Ⅰ）∵|BC|=2|AC|，且BC经过O（0，0），
∴|OC|=|AC|．又 $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，
∵ $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 及C点坐标代入椭圆方程得 $\text{[math]}$ ，
∴椭圆E的方程为： $\text{[math]}$ ．

（Ⅱ）对于椭圆上两点P，Q，
∵∠PCQ的平分线总垂直于x轴，
∴PC与CQ所在直线关于直线 $\text{[math]}$ 对称，设直线PC的斜率为k，则直线CQ的斜率为-k，
∴直线PC的方程为 $\text{[math]}$ ，
即 $\text{[math]}$ ．①
直线CQ的方程为 $\text{[math]}$ ．②
将①代入 $\text{[math]}$ ，
得 $\text{[math]}$ ，③
∵ $\text{[math]}$ 在椭圆上，
∴ $\text{[math]}$ 是方程③的一个根．
∴ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，
同理可得， $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ．
∵ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，
又 $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，
∴k_AB=k_PQ，∴向量 $\text{[math]}$ 与向量 $\text{[math]}$ 共线．
分析：（Ⅰ）根据|BC|=2|AC|，且BC经过O可推断出|OC|=|AC|，进而根据 $\text{[math]}$ 求得C点的坐标，将a及C点坐标代入椭圆方程求得b，则椭圆的方程可得．
（Ⅱ）根据∠PCQ的平分线总垂直于x轴，可知PC与CQ所在直线关于直线 $\text{[math]}$ 对称，设直线PC的斜率为k，则直线CQ的斜率为-k，进而可表示出直线PC的方程和直线CQ的方程分别于椭圆方程联立，根据C点坐标且在椭圆上，可利用韦达定理求得x_Q和x_p的表达式，进而求得B的坐标，则直线AB的斜率可求得，进而可知k_AB=k_PQ，推断出向量 $\text{[math]}$ 与向量 $\text{[math]}$ 共线．
点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．考查了学生综合分析问题和基本的运算能力．