题目内容
数列
、
的每一项都是正数,
,
,且
、
、
成等差数列,、、
成等比数列,
.
（Ⅰ）求
、
的值；
（Ⅱ）求数列、的通项公式；
（Ⅲ）记
，证明：对一切正整数
，有
.
(Ⅰ)
；（Ⅱ）
，
；（Ⅲ）答案详见解析.
解析试题分析：(Ⅰ)依题意，
，
，并结合已知
，
，利用赋值法可求
、
的值；（Ⅱ）由①，②，且
，则
，
（
），代入①中，得关于
的递推公式
，故可判断数列
是等差数列，从而可求出，代入（）中，求出（），再检验
时，是否满足，从而求出
；（Ⅲ）和式
表示数列
的前
项和，故先求通项公式
，再选择相应的求和方法求和，再证明和小于
.
试题解析：(Ⅰ)由
，可得
.由
，可得
.
（Ⅱ）因为、、成等差数列，所以…①.因为、、成等比数列，所以，因为数列、的每一项都是正数，所以…②.于是当
时…③. 将②、③代入①式，可得，因此数列是首项为4，公差为2的等差数列，
所以
，于是. 则
.
当时，，满足该式子，所以对一切正整数，都有.
（Ⅲ）方法一:
，所以
.
于是
.
方法二:
.
于是
.
考点：1、等差中项和等比中项；2、数列的递推公式；3、数列求和.
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是等差数列，且
，求数列
前n项和
的前n项和，问是否存在常数m，使Tn＝m
，若存在，求m的值；若不存在，说明理由．
的前
项和为
，且
．
；
，
是数列
的前
对所有
都成立的最小正整数
．
（a，b，c为常数），使数列{an+f(n)}是等比数列，并求出数列{an}的通项公式；
的前n项和为
，且
。
，数列
的前n项和为
，证明：
。
的前
项和为
，且
是
的等差中项，等差数列
满足
，
.
，数列
的前
，求
的取值范围.
的通项公式为
，在等差数列数列
中，
，且
，又
、
、
成等比数列.
的通项公式；
项和
.