题目内容
(本小题满分14分)
设椭圆方程为抛物线方程为如图4所示,过点作轴的平行线,与抛物线在第一象限的交点为G.已知抛物线在点G的切线经过椭圆的右焦点
(1)求满足条件的椭圆方程和抛物线方程;
(2)设A,B分别是椭圆长轴的左、右端点,试探究在抛物线上是否存在点P,使得为直角三角形?若存在,请指出共有几个这样的点?并说明理由(不必具体求出这些点的坐标) 。
【答案】
(1)椭圆和抛物线的方程分别为和;
(2)存在,有4个点,理由见解析。
【解析】 对于(1)重点要抓住抛物线在点G的切线经过椭圆的右焦点F1,故先要设法求出点G及抛物线在点G的切线,再求F1,利用同一个F1求出b即可;对于(2)首先要注意直角三个角均有可能为直角,不要遗漏,对于为直角的情况可利用向量或斜率求解;
(1)由得,
当得,G点的坐标为,,,
过点G的切线方程为即,
令得,点的坐标为,由椭圆方程得点的坐标为,
即,
即椭圆和抛物线的方程分别为和;
(2)过作轴的垂线与抛物线只有一个交点,以为直角的只有一个,同理以为直角的只有一个。
若以为直角,设点坐标为,、两点的坐标分别为和, 。
关于的二次方程有一解,有两解,即以为直角的有两个,因此抛物线上存在四个点使得为直角三角形。
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