Question

4．已知函数f（x）=sinx-2$\sqrt{3}$sin²$\frac{x}{2}$．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）在区间[0，$\frac{2π}{3}$]上的最小值．

Answer 1

分析 （1）由三角函数恒等变换化简函数解析式可得f（x）=2sin（x+$\frac{π}{3}$）-$\sqrt{3}$，由三角函数的周期性及其求法即可得解；
（2）由x∈[0，$\frac{2π}{3}$]，可求范围x+$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{3}$，π]，即可求得f（x）的取值范围，即可得解．

解答 解：（1）∵f（x）=sinx-2$\sqrt{3}$sin²$\frac{x}{2}$
=sinx-2$\sqrt{3}$×$\frac{1-cosx}{2}$
=sinx+$\sqrt{3}$cosx-$\sqrt{3}$
=2sin（x+$\frac{π}{3}$）-$\sqrt{3}$
∴f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{1}$=2π；
（2）∵x∈[0，$\frac{2π}{3}$]，
∴x+$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{3}$，π]，
∴sin（x+$\frac{π}{3}$）∈[0，1]，即有：f（x）=2sin（x+$\frac{π}{3}$）-$\sqrt{3}$∈[-$\sqrt{3}$，2-$\sqrt{3}$]，
∴可解得f（x）在区间[0，$\frac{2π}{3}$]上的最小值为：-$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角函数的周期性及其求法，三角函数的最值的应用，属于基本知识的考查．