Question

1．已知向量$\overrightarrow{m}$=（sinA，sinB），n=（cosB，cosA），$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=sin2C，且A，B，C分别为△ABC的三边a，b，c所对的角．
（1）求函数f（x）=cosCsin²x+$\frac{\sqrt{3}}{6}$sinCsin2x的最小正周期；
（2）若2sinC=sinA+sinB，且$\overrightarrow{CA}$•$\overrightarrow{CB}$=18，求边c的长．

Answer 1

分析 结合已知及向量数量积的坐标表示可求C
（1）代入f（x）=cosCsin²x+$\frac{\sqrt{3}}{6}$sinCsin2x，结合二倍角公式、辅助角公式对函数进行化简，即可求解；
（2）由2sinC=sinA+sinB，结合已知求出的C，代入对已知等式进行化简可求得A，从而可得△ABC为正三角形，然后利用向量数量积的定义可求c

解答 解：∵$\overrightarrow{m}$=（sinA，sinB），n=（cosB，cosA），
∴$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=sinAcosB+sinBcosA=sin（A+B）=sinC，
∴sinC=sin2C=2sinnCcosC，
∵sinC≠0，
∴$cosC=\frac{1}{2}$，
∵0＜C＜π，
∴$C=\frac{π}{3}$；
（1）∵f（x）=cosCsin²x+$\frac{\sqrt{3}}{6}$sinCsin2x，
=$\frac{1}{2}si{n}^{2}x+\frac{1}{4}sin2x$，
=$\frac{1-cos2x}{4}+\frac{1}{4}sin2x$，
=$\frac{1}{4}+\frac{1}{4}（sin2x-cos2x）$，
=$\frac{1}{4}+\frac{\sqrt{2}}{4}sin（2x-\frac{π}{4}）$，
函数f（x）的最小正周期T=π；
（2）∵2sinC=sinA+sinB，
∴$\sqrt{3}=sinA+sin（\frac{2π}{3}-A）$，
∴$\sqrt{3}$=sinA+$\frac{\sqrt{3}}{2}cosA+\frac{1}{2}sinA$，
$\frac{\sqrt{3}}{2}sinA+\frac{1}{2}cosA=1$，
即sin（A+$\frac{π}{6}$）=1，
∵0＜A＜π，
∴A$+\frac{π}{6}=\frac{π}{2}$，
∴$A=\frac{π}{3}$，
∴△ABC为正三角形，a=b=c${c}^{2}×\frac{1}{2}=18$，
∵$\overrightarrow{CA}$•$\overrightarrow{CB}$=18，
∴${c}^{2}×\frac{1}{2}=18$，
∴c=6．

点评 本题主要考查了向量数量积的坐标表示，两角和的三角公式、二倍角公式及正弦函数性质的综合应用，解题的关键是熟练掌握基本公式并能灵活应用．