题目内容
7.若“函数f(x)=2$\sqrt{3}$sinxcosx+cos2x-m在[0,$\frac{π}{2}$]上有两个零点”是“(m-a)(m-a-$\frac{1}{2}$)<0”的必要不充分条件,则实数a的取值范围是[1,$\frac{3}{2}$].分析 求出f(x)=2$\sqrt{3}$sinxcosx+cos2x-m在[0,$\frac{π}{2}$]上两个交点的m的取值范围A,解不等式(m-a)(m-a-$\frac{1}{2}$)<0求出解集B,则A?B,进而得到答案.
解答 解:若f(x)=2$\sqrt{3}$sinxcosx+cos2x-m=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x-m=2sin(2x+$\frac{π}{6}$)-m在[0,$\frac{π}{2}$]上有两个零点,
则函数y=2sin(2x+$\frac{π}{6}$)与y=m的图象有在[0,$\frac{π}{2}$]上有两个交点,
当x∈[0,$\frac{π}{2}$]时,2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$,$\frac{7π}{6}$],
故函数y=2sin(2x+$\frac{π}{6}$)的图象如下图所示:
则m∈[1,2),
解“(m-a)(m-a-$\frac{1}{2}$)<0”得:m∈(a,a+$\frac{1}{2}$),
若“函数f(x)=2$\sqrt{3}$sinxcosx+cos2x-m在[0,$\frac{π}{2}$]上有两个零点”是“(m-a)(m-a-$\frac{1}{2}$)<0”的必要不充分条件,
则$\left\{\begin{array}{l}a≥1\\ a+\frac{1}{2}≤2\end{array}\right.$,
解得:a∈[1,$\frac{3}{2}$],
故答案为:[1,$\frac{3}{2}$]
点评 本题主要考查方程根的存在性及个数判断,两角和差的正弦公式,充要条件,二次不等式的解法,体现了转化与数形结合的数学思想,属于中档题
练习册系列答案
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