题目内容

【题目】已知椭圆 的左右焦点分别为F1 , F2 , 且F2为抛物线 的焦点,C2的准线l被C1和圆x2+y2=a2截得的弦长分别为 和4.
(1)求C1和C2的方程;
(2)直线l1过F1且与C2不相交,直线l2过F2且与l1平行,若l1交C1于A,B,l2交C1交于C,D,且在x轴上方,求四边形AF1F2C的面积的取值范围.

【答案】
(1)

解:由题意可知:抛物线的准线方程x=﹣ ,c=

C2的准线l被C1和圆x2+y2=a2截得的弦长分别为 和4,

,得

∴C1和C2的方程分别为


(2)

解:由题意,AB的斜率不为0,设AB:x=ty﹣2,

,得y2﹣8ty+16=0,△=64t2﹣64≤0,得t2≤1,

,得(t2+1)y2﹣4ty﹣4=0,

,AB与CD间的距离为

由椭圆的对称性,ABDC为平行四边形,

即为四边形AF1F2C的面积的取值范围.


【解析】(1)由椭圆及抛物线的性质,列方程组求得a,b和c的值,即可求得C1和C2的方程;(2)设直线方程,代入抛物线和椭圆方程,求得|AB|,则AB与CD间的距离为 ,利用椭圆的对称性及函数单调性即可求得四边形AF1F2C的面积的取值范围.
【考点精析】认真审题,首先需要了解椭圆的标准方程(椭圆标准方程焦点在x轴:,焦点在y轴:).

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