Question

2．已知函数f（x）=sin2x+2cos²x-1，有下列四个结论：
①函数f（x）在区间[-$\frac{3π}{8}$，$\frac{π}{8}$]上是增函数；
②点（$\frac{3π}{8}$，0）是函数f（x）图象的一个对称中心；
③函数f（x）的图象可以由函数y=$\sqrt{2}$sin2x的图象向左平移$\frac{π}{4}$得到；
④若x∈[0，$\frac{π}{2}$]，则f（x）的值域为[0，$\sqrt{2}$]．
则所有正确结论的序号是（　　）

• A． ①②③
• B． ①③
• C． ②④
• D． ①②

Answer 1

分析 函数f（x）=sin2x+2cos²x-1=sin2x+cos2x=$\sqrt{2}sin（2x+\frac{π}{4}）$，再利用正弦函数的图象与性质即可判断出正误．

解答 解：函数f（x）=sin2x+2cos²x-1=sin2x+cos2x=$\sqrt{2}sin（2x+\frac{π}{4}）$：
①若x∈[-$\frac{3π}{8}$，$\frac{π}{8}$]，则$（2x+\frac{π}{4}）$∈$[-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}]$，因此函数f（x）在区间[-$\frac{3π}{8}$，$\frac{π}{8}$]上是增函数，因此正确；
②∵$f（\frac{3π}{8}）$=$\sqrt{2}sin（\frac{3π}{4}+\frac{π}{4}）$=$\sqrt{2}$sinπ=0，因此点（$\frac{3π}{8}$，0）是函数f（x）图象的一个对称中心，正确；
③由函数y=$\sqrt{2}$sin2x的图象向左平移$\frac{π}{4}$得到y=$\sqrt{2}sin[2（x+\frac{π}{4}）]$=$\sqrt{2}cos2x$，因此由函数y=$\sqrt{2}$sin2x的图象向左平移$\frac{π}{4}$不能得到函数f（x）的图象；
④若x∈[0，$\frac{π}{2}$]，则$（2x+\frac{π}{4}）$∈$[\frac{π}{4}，\frac{5π}{4}]$，∴$sin（2x+\frac{π}{4}）$∈$[-\frac{\sqrt{2}}{2}，1]$，∴f（x）的值域为[-1，$\sqrt{2}$]，因此不正确．
故选：D．

点评 本题考查了正弦函数的图象与性质、倍角公式、两角和差的正弦公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．