Question

13．已知函数f（x），当x∈（0，1]时满足如下性质：f（x）=2lnx且$f（x）=2f（\frac{1}{x}）$，若在区间$[\frac{1}{3}，3]$内，函数g（x）=f（x）-ax，有三个不同的零点，则实数a的取值范围是（　　）

• A． $[\frac{ln3}{3}，\frac{1}{e}）$
• B． $[\frac{4ln3}{3}，\frac{4}{e}）$
• C． $（0，\frac{1}{e}）$
• D． $（0，\frac{4}{e}）$

Answer 1

分析 若函数g（x）=f（x）-ax，有三个不同的零点，则函数y=f（x）和y=ax的图象有三个不同的交点，根据已知求出函数的解析式，利用导数法，求出两图象相切时的临界值，可得答案．

解答 解：∵函数f（x）当x∈（0，1]时满足如下性质：f（x）=2lnx且$f（x）=2f（\frac{1}{x}）$，
∴在区间$[\frac{1}{3}，3]$内，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}2lnx，x∈[\frac{1}{3}，1]\\-4lnx，x∈[1，3]\end{array}\right.$，
∵f（1）=0，f（3）=-4ln3，
若y=ax的图象过（3，-4ln3）则a=$\frac{4ln3}{3}$，
若y=ax的图象与f（x）=-4lnx，x∈[1，3]相切于（b，-4lnb）点，
则切线方程为：y+4lnb=$\frac{-4}{b}$（x-b），即
4lnb=4，b=e，
此时a=$\frac{4}{e}$
若函数g（x）=f（x）-ax，有三个不同的零点，
则函数y=f（x）和y=ax的图象有三个不同的交点，
则a∈$[\frac{4ln3}{3}，\frac{4}{e}）$，
故选：B．

点评 此题充分利用了分类讨论的思想，是一道综合题，将函数零点问题，转化为函数图象交点个数问题，是解答的关键．