Question

18．已知A，B为椭圆$C：\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$上两个不同的点，O为坐标原点．设直线OA，OB，AB的斜率分别为k₁，k₂，k．
（Ⅰ） 当k₁=2时，求|OA|；
（Ⅱ） 当k₁k₂-1=k₁+k₂时，求k的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由直线OA斜率k₁=2，得直线OA的方程为y=2x，代入椭圆方程得出交点，再利用两点之间的距离公式即可得出．
（Ⅱ） 设点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线AB的方程为y=kx+b．与椭圆方程联立可得（1+2k²）x²+4kbx+2b²-2=0，△＞0，再利用根与系数的关系、斜率计算公式即可得出．

解答 解：（Ⅰ）由直线OA斜率k₁=2，得直线OA的方程为y=2x，
代入椭圆方程得${x^2}=\frac{2}{9}$，
∴$|{OA}|=\sqrt{{x^2}+{{（2x）}^2}}=\frac{{\sqrt{10}}}{3}$．
（Ⅱ） 设点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线AB的方程为y=kx+b．
由$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{2}+{y^2}=1\\ y=kx+b\end{array}\right.$消去y得（1+2k²）x²+4kbx+2b²-2=0，
故△=16k²-8b²+8＞0，且$\left\{\begin{array}{l}{x_1}+{x_2}=-\frac{4kb}{{2{k^2}+1}}\\{x_1}{x_2}=\frac{{2{b^2}-2}}{{2{k^2}+1}}.\end{array}\right.$①，

由k₁+k₂=k₁k₂-1得x₂y₁+x₁y₂=y₁y₂-x₁x₂，
将y₁=kx₁+b，y₂=kx₂+b代入得$（{k^2}-2k-1）{x_1}{x_2}+b（k-1）（{x_1}+{x_2}）+{b^2}=0$，②
将①代入②得b²=-2k²+4k+2，
联立△＞0与b²≥0得$\left\{\begin{array}{l}4{k^2}-4k-1＞0\\-2{k^2}+4k+2≥0\end{array}\right.$，

解得k的取值范围为$[{1-\sqrt{2}，\frac{{1-\sqrt{2}}}{2}}）∪（{\frac{{1+\sqrt{2}}}{2}，1+\sqrt{2}}]$．

点评 本题主要考查椭圆的几何性质、直线与椭圆的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力，属于难题．