Question

20．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x+\frac{1}{x}，x＞0}\\{{x}^{3}+3，x≤0}\end{array}\right.$，对于方程f（2x²+x）=a．
（1）若a=3，方程实根的个数为6．
（2）若a∈（2，+∞），方程实根个数的最小值是4．

Answer 1

分析 画出函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x+\frac{1}{x}，x＞0}\\{{x}^{3}+3，x≤0}\end{array}\right.$的图象，令t=2x²+x，分类讨论不同情况下，方程实根的个数，综合讨论结果，可得答案．

解答 解：函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x+\frac{1}{x}，x＞0}\\{{x}^{3}+3，x≤0}\end{array}\right.$的图象如图所示：
（1）若a=3，令t=2x²+x，
则有三个满足条件的t，且均非负数，
故每个t值方程t=2x²+x都有两个根，
故方程实根的个数为6个，
（2）若a∈（2，+∞），
则当a＞3时，则有两个满足条件的t，且均正数，
故每个t值方程t=2x²+x都有两个根，
故方程实根的个数为4个，
当3-$\frac{1}{512}$＜a＜3时，则有三个满足条件的t，且故每个t值方程t=2x²+x都有两个根，
故方程实根的个数为6个，
当a=3-$\frac{1}{512}$时，则有三个满足条件的t，且两个正数t值方程t=2x²+x都有两个根，
t=3-$\frac{1}{512}$时，方程t=2x²+x有一个根，
故方程实根的个数为5个，
当2＜a＜3-$\frac{1}{512}$时，则有三个满足条件的t，且两个正数t值方程t=2x²+x都有两个根，
t＜3-$\frac{1}{512}$时，方程t=2x²+x无根，
故方程实根的个数为4个，
综上所述，方程的根最小有4个，
故答案为：6，4

点评 本题考查的知识点是分段函数的应用，分类讨论思想，数形结合思想，转化思想，难度较大．