题目内容
【题目】如图，在直三棱柱
中，
，
，
分别为棱
的中点.
（1）求二面角
的平面角的余弦值；
（2）在线段
上是否存在一点
，使得
平面
?若存在，确定点
的位置并证明结论；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）
；（2）存在，
为中点
【解析】
试题分析：（1）如图建系
．分别求出平面
，
的一个法向量，利用两法向量的夹角求解；（2）设
，欲使
平面
，当且仅当
，列出关于
的方程并求解即可．
试题解析：（1）
为直三棱柱，
，
，
分别为棱
的中点，
建立如图所示的空间直角坐标系，则
，
，
，
，
，
，
，
.
，
.设平面
的一个法向量为
，
则
，即
，得
，
.
又平面
的一个法向量为
，
，
由图可知，二面角
的平面角为锐角，
二面角
的平面角的余弦值为．
（2）在线段
上存在一点
，设为
，使得平面．
欲使平面，由（１）知，当且仅当．
，
．
在线段上存在一点
满足条件，此时点为的中点．
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