Question

15．设函数f（x）=cos²x+$\frac{1}{2}$sin（2x+$\frac{π}{2}$）-$\frac{1}{2}$．
（1）求f（x）在（$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$）上的值域．
（2）设A，B，C为△ABC的三个内角，若角C满足f（$\frac{C}{2}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，且边c=$\sqrt{2}$a，求角A．

Answer 1

分析 （1）由条件利用三角函数的恒等变换化简f（x）的解析式，再根据余弦函数的定义域和值域，求得f（x）在（$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$）上的值域
（2）由条件求得cosC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，可得 C=$\frac{π}{4}$．再利用正弦定理求得sinA的值，可得A的值．

解答 解：（1）∵函数f（x）=cos²x+$\frac{1}{2}$sin（2x+$\frac{π}{2}$）-$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$cos2x+$\frac{1}{2}$cos2x=cos2x，
故当x∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$）时，2x∈（$\frac{π}{3}$，$\frac{4π}{3}$），cos2x∈[-1，$\frac{1}{2}$）．
（2）△ABC中，∵f（$\frac{C}{2}$）=cosC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴C=$\frac{π}{4}$．
又c=$\sqrt{2}$a，由正弦定理可得$\frac{c}{a}$=$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{sinA}$=$\sqrt{2}$，求得sinA=$\frac{1}{2}$，∴A=$\frac{π}{6}$ 或A=$\frac{5π}{6}$（舍去）
综上，A=$\frac{π}{3}$．

点评 本题主要考查三角函数的恒等变换，余弦函数的定义域和值域，正弦定理的应用，根据三角函数的值求角，属于中档题．