Question

【题目】甲、乙、丙三人投篮的水平都比较稳定，若三人各自独立地进行一次投篮测试，则甲投中而乙不投中的概率为 ，乙投中而丙不投中的概率为 ，甲、丙两人都投中的概率为 ．
（1）分别求甲、乙、丙三人各自投篮一次投中的概率；
（2）若丙连续投篮5次，求恰有2次投中的概率；
（3）若丙连续投篮3次，每次投篮，投中得2分，未投中得0分，在3次投篮中，若有2次连续投中，而另外1次未投中，则额外加1分；若3次全投中，则额外加3分，记ξ为丙连续投篮3次后的总得分，求ξ的分布列和期望．

Answer 1

【答案】
（1）解：记甲、乙、丙三人各自独立地进行一次投篮测试投中的事件依次为A、B、C，由题设条件有：

= ， = ，P（AC）= ，即P（A）[1﹣P（B）]= ，①；P（B）[1﹣P（C）]= ，②P（A）P（C）= ，③．

由①③得P（B）=1﹣ P（C），代入②得27P（C）]2﹣51P（C）+22=0．

解得P（C）= 或P（C）= （舍去）．将P（C）= 分别代入②③可得P（A）= ，P（B）= ．

故甲、乙、丙三人各自投篮一次投中的概率分别是 ， ，

（2）解：丙连续投篮5次，恰有2次投中的概率为
（3）解：ξ可以取的值为0，2，4，5，9，可求得： ， ， ， ， ．

∴ξ的分布列为：

ξ	0	2	4	5	9
p

∴ξ期望为Eξ=0+ +5× +9× =

【解析】（1）记甲、乙、丙三人各自独立地进行一次投篮测试投中的事件依次为A、B、C，由题设条件有： = ， = ，P（AC）= ，解出即可得出．（2）丙连续投篮5次，恰有2次投中的概率为 ，（3）ξ可以取的值为0，2，4，5，9，可求得： ， ， ， ， ．可得ξ的分布列及其数学期望．
【考点精析】本题主要考查了离散型随机变量及其分布列的相关知识点，需要掌握在射击、产品检验等例子中，对于随机变量X可能取的值，我们可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．离散型随机变量的分布列：一般的,设离散型随机变量X可能取的值为x1,x2,.....,xi,......,xn，X取每一个值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，则称表为离散型随机变量X 的概率分布，简称分布列才能正确解答此题．