Question

等比数列{an}中，a1=512，公比q=-

1

2

，用Πn表示它的前n项之积，即Π_n=a₁a₂a_n，则Π₁，Π₂，Π₃，中最大的是（　　）

• A、Π₈
• B、Π₉
• C、Π₁₀
• D、Π₁₁

Answer 1

分析：首先求出数列{a_n}的通项公式，进而求出|a_n|，然后|a_n|=1得n=10，从而确定Π_n最大值在n=10之时取到，数列的前10项积中有偶数个小于零的偶数项即a₂，a₄，a₆，a₈则数列的前8项积大于0，而数列的前7项积中有奇数个小于零的偶数项即 a₂，a₄，a₆因此数列的前10项积小于0，从而得出答案．

解答：解：根据题意得 a_n=512×（-

1

2

）^n-1
则|a_n|=512×（

1

2

）^n-1 令|a_n|=1 得n=10，
∴Π_n最大值在n=10之时取到 因为之后的|a_n|＜1会使Π_n越乘越小；
又∵所有n为偶数的a_n为负 所有n为奇数的a_n为正Π_n，
∴Π_n的最大值要么是a₉要么是a₁₀
∵数列的前10项积中有偶数个小于零的偶数项即a₂，a₄，a₆，a₈
则数列的前10项积大于0
而数列的前9项积中有奇数个小于零的偶数项即 a₂ a₄ a₆
因此数列的前9项积小于0，
故选D．

点评：本题考查了等比数列的性质，令|a_n|=1得出n=10，从而得到Π_n最大值在n=10之时取到，是解题的关键，属于中档题．