题目内容
【题目】已知椭圆: ()的离心率为, 、分别是它的左、右焦点,且存在直线,使、关于的对称点恰好是圆: (, )的一条直径的两个端点.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设直线与抛物线()相交于、两点,射线、与椭圆分别相交于点、.试探究:是否存在数集,当且仅当时,总存在,使点在以线段为直径的圆内?若存在,求出数集;若不存在,请说明理由.
【答案】(Ⅰ); (Ⅱ)见解析.
【解析】试题分析:(Ⅰ)椭圆的焦距等于圆的直径,所以,根据离心率求出;
(Ⅱ)因为、关于的对称点恰好是圆的一条直径的两个端点,所以直线是线段的垂直平分线(是坐标原点),故方程为,与联立得: ,点在以线段为直径的圆内 韦达定理代入求解即可.
试题解析:
(Ⅰ)将圆的方程配方得: ,所以其圆心为,半径为2.
由题设知,椭圆的焦距等于圆的直径,所以,
又,所以,从而,故椭圆的方程为.
(Ⅱ)因为、关于的对称点恰好是圆的一条直径的两个端点,所以直线是线段的垂直平分线(是坐标原点),故方程为,与联立得: ,由其判别式得,①
设, ,则, .
从而 , .
因为的坐标为,所以, .
注意到与同向, 与同向,所以
点在以线段为直径的圆内
,②
当且仅当 即时,总存在,使②成立.
又当时,由韦达定理知方程 的两根均为正数,故使②成立的,从而满足①.
故存在数集,当且仅当时,总存在,使点在以线段为直径的圆内.
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