题目内容

【题目】已知椭圆 )的离心率为 分别是它的左、右焦点,且存在直线,使关于的对称点恰好是圆 )的一条直径的两个端点.

(Ⅰ)求椭圆的方程;

(Ⅱ)设直线与抛物线)相交于两点,射线与椭圆分别相交于点.试探究:是否存在数集,当且仅当时,总存在,使点在以线段为直径的圆内?若存在,求出数集;若不存在,请说明理由.

【答案】(Ⅰ); (Ⅱ)见解析.

【解析】试题分析:(Ⅰ)椭圆的焦距等于圆的直径,所以,根据离心率求出

(Ⅱ)因为关于的对称点恰好是圆的一条直径的两个端点,所以直线是线段的垂直平分线(是坐标原点),故方程为,与联立得: ,点在以线段为直径的圆内 韦达定理代入求解即可.

试题解析:

(Ⅰ)将圆的方程配方得: ,所以其圆心为,半径为2.

由题设知,椭圆的焦距等于圆的直径,所以

,所以,从而,故椭圆的方程为.

(Ⅱ)因为关于的对称点恰好是圆的一条直径的两个端点,所以直线是线段的垂直平分线(是坐标原点),故方程为,与联立得: ,由其判别式,①

,则 .

从而 .

因为的坐标为,所以 .

注意到同向, 同向,所以

在以线段为直径的圆内

,②

当且仅当 时,总存在,使②成立.

又当时,由韦达定理知方程 的两根均为正数,故使②成立的,从而满足①.

故存在数集,当且仅当时,总存在,使点在以线段为直径的圆内.

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