题目内容
【题目】已知椭圆:
(
)的离心率为
,
、
分别是它的左、右焦点,且存在直线
,使
、
关于
的对称点恰好是圆
:
(
,
)的一条直径的两个端点.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设直线与抛物线
(
)相交于
、
两点,射线
、
与椭圆
分别相交于点
、
.试探究:是否存在数集
,当且仅当
时,总存在
,使点
在以线段
为直径的圆内?若存在,求出数集
;若不存在,请说明理由.
【答案】(Ⅰ); (Ⅱ)见解析.
【解析】试题分析:(Ⅰ)椭圆的焦距等于圆
的直径,所以
,根据离心率求出
;
(Ⅱ)因为、
关于
的对称点恰好是圆
的一条直径的两个端点,所以直线
是线段
的垂直平分线(
是坐标原点),故
方程为
,与
联立得:
,点
在以线段
为直径的圆内
韦达定理代入求解即可.
试题解析:
(Ⅰ)将圆的方程配方得:
,所以其圆心为
,半径为2.
由题设知,椭圆的焦距等于圆
的直径,所以
,
又,所以
,从而
,故椭圆
的方程为
.
(Ⅱ)因为、
关于
的对称点恰好是圆
的一条直径的两个端点,所以直线
是线段
的垂直平分线(
是坐标原点),故
方程为
,与
联立得:
,由其判别式
得
,①
设,
,则
,
.
从而
,
.
因为的坐标为
,所以
,
.
注意到与
同向,
与
同向,所以
点在以线段
为直径的圆内
,②
当且仅当
即
时,总存在
,使②成立.
又当时,由韦达定理知方程
的两根均为正数,故使②成立的
,从而满足①.
故存在数集,当且仅当
时,总存在
,使点
在以线段
为直径的圆内.
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