题目内容
【题目】已知函数,
.
(1)设函数(
),讨论
的极值点个数;
(2)设直线为函数
的图像上一点
处的切线,试探究:在区间
上是否存在唯一的
,使得直线
与曲线
相切.
【答案】(1)当时,
有两个极值点,
时,
没有极值点.(2)存在,答案见解析
【解析】
(1)求出函数的导数,令
,根据
的符号,分类讨论,即可求解;
(2)由,求得切线的方程
,设直线
与曲线
相切于点
,由
,说明
的方程也是
,再证明在区间
上
存在且唯一即可.
(1)由题意,函数,
可得(
),令
.,
①当即
时,
在
上恒成立,此时
在
上单调递增,极值点个数为0
②当时,
在
上恒成立,此时
在
上单调递增,极值点个数为0;
③当时,
,设
,
是
的两根,则
,
,故
,
,此时
在
上有两个极值点.
综上所述,当时,
有两个极值点,
时,
没有极值点
(2)因为,可得
,
所以切线的方程为
,即
设直线与曲线
相切于
,∵
,∴
即
,
∴,
∴直线的方程也为
,即
,
∴,即
.
下证:在区间上
存在且唯一,设
(
),
,则在
上单调递增.
又,
,
由零点存在性定理知:存在,使得
,即
.
故在区间上存在唯一的
,使得直线
与曲线
相切.

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