Question

【题目】设函数， ，其中R， …为自然对数的底数．

（Ⅰ）当时， 恒成立，求的取值范围；

（Ⅱ）求证： (参考数据： )．

Answer 1

【答案】（1） （2）见解析

【解析】【试题分析】（1）先构造函数，再对其求导得到然后分和两种情形分类讨论进行分析求解：

（2）借助（1）的结论，当时， 对恒成立， 再令，得到 即； 又由(Ⅰ)知，当时，则在递减，在递增，则，即，又，即，令，即，则，

故有.

解：

(Ⅰ)令，则

①若，则， ， 在递增， ，

即在 恒成立，满足，所以；

②若， 在递增， 且

且时， ，则使，

则在递减，在递增，

所以当时，即当时， ，

不满足题意，舍去；

综合①，②知的取值范围为.

(Ⅱ)由(Ⅰ)知，当时， 对恒成立，

令，则 即；

由(Ⅰ)知，当时，则在递减，在递增，

则，即，又，即，

令，即，则，

故有.