Question

【题目】对于定义域为D的函数，如果存在区间，同时满足：①在内是单调函数；②当定义域是时，的值域也是，则称是该函数的“优美区间”.

（1）求证：是函数的一个“优美区间”.

（2）求证：函数不存在“优美区间”.

（3）已知函数（）有“优美区间”，当a变化时，求出的最大值.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）

【解析】

（1）结合“优美区间”的定义,可证明结论;

（2）若函数存在“优美区间”,可得函数在上单调递减,从而可得,联立可推出矛盾,即可证明结论;

（3）函数有“优美区间”,结合单调性可得,联立可求得的关系,进而可求得的最大值.

（1）在区间上单调递增,

又,,∴的值域为,

∴区间是的一个“优美区间”.

（2）设是已知函数的定义域的子集.

由,可得或,

∴函数在上单调递减.

若是已知函数的“优美区间”,则,

两式相减得,,则,

,

则,显然等式不成立,

∴函数不存在“优美区间”.

（3）设是已知函数定义域的子集.

由,则或,

而函数在上单调递增.

若是已知函数的“优美区间”,则,

∴是方程，即的两个同号且不等的实数根.

,∴同号,只须,

解得或,

,

∴当时,取得最大值.