Question

选修4-4：坐标系与参数方程
直线l方程是x+2y+3=0，曲线C的极坐标方程是ρ²-2

2

ρsin（θ+45°）-7=0．
（I）分别求直线l和曲线C的参数方程；
（II）求直直线l和曲线C交点的直角坐标．

Answer 1

分析：（I）将直线l化成斜截式，得到它的斜率，再取直线上点M（-1，-1），可得直线l上一点P坐标的参数形式，即可化为直线l的参数方程；对于曲线C，先将其化为直角坐标方程，得到它是以（1，1）为圆半径为3的圆，由此不难得到曲线C的参数方程；
（II）由（I）的结论，将直线l和曲线C的直角坐标方程组成方程组，联解即得方程组的解，即为直线l和曲线C交点的直角坐标．

解答：解：（I）直线l化成斜截式y=-

1

2

x-

3

2

，再令x=-1，得y=-1，
可得直线l为经过点M（-1，-1），斜率为-

1

2

的直线
∴直线l上一点P坐标可写成P（-1+2t，-1-t）
可得直线l的参数方程为

x=-1+2t y=-1-t

，（t为参数），…（2分）
对于曲线C：ρ²-2

2

ρsin（θ+45°）-7=0，即ρ²-2（ρsinθ+ρcosθ）-7=0．
∵ρ²=x²+y²，ρsinθ=y，ρcosθ=x，
∴曲线C的直角坐标方程为：x²+y²-2x-2y-7=0，化成标准方程为（x-1）²+（y-1）²=9
得曲线C是以（1，1）为圆半径为3的圆，因此令x-1=3cosθ，y-1=3sinθ
曲线C的参数方程为：

x=1+3cosθ y=1+3sinθ

（θ为参数）          …（5分）
（II）直线l的普通方程为x+2y+3=0，…①
曲线C普通方程为（x-1）²+（y-1）²=9，…②
联解得，

x=1 y=-2

或

x=- 7 5 y=- 4 5

∴直线l和曲线C交点的直角坐标为A（1，-2），B（-

7

5

，-

4

5

）              …（10分）

点评：本题以直线与圆的位置关系作为载体，考查了直线的参数方程、圆的极坐标方程与普通方程的互化等知识，属于基础题．