Question

设函数f（x）=|3x-1|+x+2，
（1）解不等式f（x）≤3，
（2）若不等式f（x）＞a的解集为R，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）因为不等式|f（x）|≤a 等价于：-a≤f（x）≤a，不必考虑a 的符号（a＜0时，解集是空集），据此进而分析不等式|3x-1|≤1-x可得答案；
（2）化简f（x）的解析式，利用函数的单调性求出f（x）的最小值，要使不等式f（x）＞a的解集为R，只要f（x）的最小值大于a．

解答：解：（1）不等式即|3x-1|+x+2≤3，
∴|3x-1|≤1-x，∴x-1≤3x-1≤1-x，
即{x|0≤x≤

1

2

}．
（2）f（x）=

4x+1 (x≥ 1 3 ) -2x+3 (x＜ 1 3 )

，
当x≥

1

3

时，f（x）单调递增；x＜

1

3

时，f（x）单调递减，
∴f(x)min=f(

1

3

)=

7

3

．
要使不等式f（x）＞a的解集为{R}，只需f（x）_min＞a即可，即

7

3

＞a．
∴综上，a的取值范围是（-∞，

7

3

）．

点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，利用函数的单调性求函数的最小值，以及函数的恒成立问题的解法，属于中档题．