题目内容

设函数f(x)=ax3+bx+c(a≠0)是定义在R上的奇函数,其图象在点(1,f(1))处的切线方程是6x+y+4=0.
(Ⅰ)求a,b,c的值;
(Ⅱ)求函数f(x)的单调递增区间,并求函数f(x)在[-1,3]上的最大值和最小值.
分析:(Ⅰ)先根据其为奇函数得到c=0;再求出导函数,根据其图象在点(1,f(1))处的切线方程是6x+y+4=0得到f'(1)=3a+b=-6以及f(1)=-10,即可求出a,b的值;
(Ⅱ)先求原函数的导数,根据f′(x)>0求得函数的单调增区间,并通过比较极值和端点值的大小即可得到函数f(x)在[-1,3]上的最大值和最小值.
解答:解:(Ⅰ)因为f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x).
即-ax3-bx+c=-ax3-bx-c.解得c=0.…2分
又直线6x+y+4=0的斜率为-6,
所以f'(1)=3a+b=-6.…4分
把x=1代入6x+y+4=0中得f(1)=-10…5分
点(1,-10)在函数f(x)的图象上,则a+b=-10…6分
解得a=2,b=-12.
所以a=2,b=-12,c=0.…7分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知f(x)=2x3-12x.
所以f′(x)=6x2-12=6(x+
2
)(x-
2
)
.…8分
列表如下:
x (-∞,-
2
)
-
2
(-
2
2
)
2
(
2
,+∞)
f'(x) + 0 - 0 +
f(x) 极大值 极小值
…11分
所以函数f(x)的单调增区间是(-∞,-
2
)
(
2
,+∞)

因为f(-1)=10,f(
2
)=-8
2
,f(3)=18,
所以f(x)在[-1,3]上的最大值是f(3)=18,最小值是f(
2
)=-8
2
.…13分.
点评:本题考查了利用导数求闭区间上函数的最值,求函数在闭区间[a,b]上的最大值与最小值是通过比较函数在(a,b)内所有极值与端点函数f(a),f(b) 比较而得到的.
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