Question

【题目】已知.

（1）求函数最值；

（2）若，求证：.

Answer 1

【答案】（1） 取最大值，无最小值；（2）详见解析.

【解析】

试题分析：（1）分析函数的导数，并且求函数的极值点，并且分析极值点两侧的单调性，求函数的最值；

（2）设，根据（1）可知，然后采用分析法的证明思路，转化为证明，设，，根据函数的导数，可知函数是单调递增函数，所以，得证.

试题解析：（1）对求导可得，

令得x=0.

当时，，函数单调递增；

当时，，函数单调递减，

当x=0时，取最大值，无最小值.

（2）不妨设，由（1）得

当时，，函数单调递增；

当时，，函数单调递减，

若，则，

欲证：，只需证：，

∵函数在单调递减，

只需证：，考虑到，即证，也即证

下证：，

设，

，

∴，故g（x）在上单调递增，

故时，g（x）<g（0）=0，即f（x）-f（-x）<0，∴.