题目内容
【题目】已知抛物线E:x2=2py(p>0)的焦点为F,点M是直线y=x与抛物线E在第一象限内的交点,且|MF|=5.
(1)求抛物E的方程.
(2)直线l与抛物线E相交于两点A,B,过点A,B分别作AA1⊥x轴于A1,BB1⊥x轴于B1,原点O到直线l的距离为1.求的最大值.
【答案】(1)x2=4y(2)
【解析】
(1)抛物线中到焦点的距离转化为到准线的距离;
(2)由题意得直线的斜率存在且不为零,设直线方程,代入抛物线中,由根与系数的关系得到纵坐标的关系,原点到直线的距离得出斜率和截距的关系,求出距离,
用纵坐标表示,再由二次函数求出最大值.
解:(1)设,
,联立方程组:
解得:
,
抛物线中,准线方程:,到焦点距离等于到准线的距离,
,
,
解得:,
所以抛物线方程为:;
(2)由题意可得直线的斜率一定存在,
设的方程为:
,
,
原点到直线
的距离为1得:
,
,
,
,
,
联立方程组:得:
,
,
即且
,
,
,
,
而,
当时最大且为:
,
即的最大值为:
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
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