Question

设x,y,z>0,x+y+z=3,依次证明下列不等式,
(1)(2-)≤1.
(2)≥.
(3)++≥2.

Answer 1

见解析

证明：(1)由(2-)=-[()²-2+1]+1=-(-1)²+1≤1,
得(2-)≤1.
当且仅当xy=1时取等号.
(2)≥
=,
因为2+≤2+,且由(1)知(2-)≤1,
当且仅当x=y=1时取等号.
所以≥=①.
(3)同理可得≥②,
≥③,
由柯西不等式得(++)(a+b+c)≥9,
对于a,b,c>0,++≥④,
利用不等式④,
由①,②,③及已知条件x + y + z =3得
++≥++≥==2.