Question

如图，已知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，侧面PDC为正三角形，且面PDC⊥面ABCD，E为PC中点．
（1）求证：PA∥平面BDE；
（2）求证：平面BDE⊥平面PBC；
（3）求二面角D-PB-C的正切值．

Answer 1

分析：（1）利用三角形中位线的性质证明PA∥OE，利用线面平行的判定定理证明PA∥平面BDE；
（2）利用面面垂直的性质，证明BC⊥平面PDC，利用线面垂直的判定定理证明DE⊥平面PBC，再利用面面垂直的判定定理证明平面BDE⊥平面PBC；
（3）过E作EH⊥PB，垂足为H，连接DH，则DH⊥PB，可得∠DHE为二面角D-PB-C的平面角，从而可求二面角D-PB-C的正切值．

解答：（1）证明：连结AC交BD于O，连接OE，则O是AC的中点又E为PC的中点，∴PA∥OE．
∵OE?平面BDE，PA?平面BDE，
∴PA∥平面BDE；
（2）证明：∵正三角形PDC中，点E是PC的中点
∴DE⊥PC
∵正方形ABCD中，BC⊥CD，平面PDC⊥平面ABCD，平面PDC∩平面ABCD=CD
∴BC⊥平面PDC
∴BC⊥DE
∵PC∩BC=C，∴DE⊥平面PBC
∵DE?平面EDB
∴平面EDB⊥平面PBC；
（3）解：过E作EH⊥PB，垂足为H，连接DH，则DH⊥PB
∴∠DHE为二面角D-PB-C的平面角
设正方形ABCD和正△PDC的边长为2，则在Rt△DEH中，DE=

3

∵EH=

1 2 S△PBC

1 2 PB

=

1 2 PC•BC

PC2+BC2

=

2

2

∴tan∠DHE=

DE

EH

=

3

2 2

=

6

∴二面角D-PB-C的正切值是

6

．

点评：本题考查线面平行的判定，面面垂直的判定与性质，考查二面角的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．