Question

【题目】如图，在四棱锥中，底面ABCD，，，，，点E为棱PC的中点．

1证明：；

2求BE的长；

3若F为棱PC上一点，满足，求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2)．(3)．

【解析】

1以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，求出，，由，能证明．

2由，能求出BE的长．

3由，求出，进而求出平面FBA的法向量和平面ABP的法向量，由此利用向量法能求出二面角的余弦值．

1证明：底面ABCD，，

以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，

建立空间直角坐标系，

由题意,

，，

，．

2解：因为，

的长为．

3解：，

，由点F在棱PC上，设，，

，

，，解得，

设平面FBA的法向量为，

则，

取，得，

取平面ABP的法向量，

则二面角的平面角满足：

，

二面角的余弦值为．