Question

13．设a，b互为共轭复数，且（a+b）²-3abi=4-12i．求a，b 的值．

Answer 1

分析 由题意，设a=x+yi，则b=x-yi，代入等式，利用复数相等得到关于x，y 的方程组解之．

解答 解：因为a，b互为共轭复数，所以设a=x+yi，则b=x-yi，a+b=2x，ab=x²+y²，
所以4x²-3（x²+y²）i=4-12i，
所以$\left\{\begin{array}{l}{4{x}^{2}=4}\\{-3（x^2+y^2）=-12}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}=1}\\{{y}^{2}=3}\end{array}\right.$，
所以a=1+$\sqrt{3}$i，b=1-$\sqrt{3}$i；
或a=1-$\sqrt{3}$i，b=1+$\sqrt{3}$i；
或a=-1+$\sqrt{3}$i，b=-1-$\sqrt{3}$i；
或a=-1-$\sqrt{3}$i，b=-1+$\sqrt{3}$i．

点评 本题考查了共轭复数以及复数相等；正确设出a，b 是解答的关键．