Question

【题目】已知函数，；

(Ⅰ)若函数在[1,2]上是减函数，求实数的取值范围；

(Ⅱ)令，是否存在实数，当(是自然对数的底数)时，函数的最小值是．若存在，求出的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）

【解析】

试题(1)在[1,2]上恒成立

令h(x)＝2x2＋ax－1，x∈[1,2]，∴h(x)≤0在[1,2]上恒成立

得，.

(2)假设存在实数a，使g(x)＝f(x)－x2，x∈(0，e]有最小值3

g(x)＝ax－lnx，x∈(0，e]，g′(x)＝a－＝

①当a≤0时，g′(x)<0，g(x)在(0，e]上单调递减

∴g(x)min＝g(e)＝ae－1＝3，∴a＝(舍去)

②当0<<e即a>时，在(0，)上，g′(x)<0；在(，e]上，g′(x)>0

∴g(x)在(0，]上单调递减，在(，e]上单调递增

∴g(x)min＝＝1＋lna＝3，∴a＝e2满足条件

③当≥e即0<a≤时，g′(x)<0，g(x)在(0，e]上单调递减

g(x)min＝g(e)＝ae－1＝3

∴a＝>(舍去)

综上所述，存在a＝e2使得当x∈(0，e]时，g(x)有最小值3.