Question

15．已知函数$f（x）=lnx-ax+\frac{b}{x}$，对任意的x∈（0，+∞），满足$f（x）+f（\;\frac{1}{x}\;）=0$，
其中a，b为常数．
（1）若f（x）的图象在x=1处切线过点（0，-5），求a的值；
（2）已知0＜a＜1，求证：$f（\;\frac{a^2}{2}\;）＞0$；
（3）当f（x）存在三个不同的零点时，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由$f（x）+f（\;\frac{1}{x}\;）=0$求得a=b，代入原函数求得则f′（1），再求出f（1）由直线方程点斜式求得切线方程，代入（0，-5）求得a=-2；
（2）求出$f（\frac{{a}^{2}}{2}）$=$2lna-\frac{{a}^{3}}{2}+\frac{2}{a}-ln2$，令g（x）=$2lnx-\frac{{x}^{3}}{2}+\frac{2}{x}-ln2$（0＜x＜1），利用导数求得g（x）在（0，1）上为减函数，则由g（x）＞g（1）＞0得答案；
（3）求出函数f（x）=lnx-ax+$\frac{a}{x}$的导函数，分析可知当a≤0时，f′（x）＞0，f（x）为（0，+∞）上的增函数，不符合题意；
当a＞0时，由△＞0求得a的范围．进一步求得导函数的两个零点，分别为${x}_{1}=\frac{1-\sqrt{1-4{a}^{2}}}{2a}，{x}_{2}=\frac{1+\sqrt{1-4{a}^{2}}}{2a}$，则x₁＜1，x₂＞1，由f（x）在（x₁，1）上递增，得f（x₁）＜f（1）=0，再由$f（\frac{{a}^{2}}{2}）＞0$，可得存在${x}_{0}∈（\frac{{a}^{2}}{2}，{x}_{1}）$，使得f（x₀）=0，结合$f（\frac{1}{{x}_{0}}）=-f（{x}_{0}）=0$，f（1）=0，可得使f（x）存在三个不同的零点时的实数a的取值范围是（0，$\frac{1}{2}$）．

解答 （1）解：由$f（x）=lnx-ax+\frac{b}{x}$，且$f（x）+f（\;\frac{1}{x}\;）=0$，
得$lnx-ax+\frac{b}{x}+ln\frac{1}{x}-\frac{a}{x}+bx=0$，即$（b-a）（x+\frac{1}{x}）=0$，
∴a=b．
则f（x）=lnx-ax+$\frac{a}{x}$，∴${f}^{′}（x）=\frac{1}{x}-a-\frac{a}{{x}^{2}}$，
则f′（1）=1-2a，
又f（1）=0，
∴f（x）的图象在x=1处的切线方程为y-0=（1-2a）（x-1），即y=（1-2a）x-1+2a．
∵（0，-5）在切线上，∴-5=-1+2a，即a=-2；
（2）证明：∵f（x）=lnx-ax+$\frac{a}{x}$，
∴$f（\frac{{a}^{2}}{2}）=ln\frac{{a}^{2}}{2}-\frac{{a}^{3}}{2}+\frac{2}{a}$=$2lna-\frac{{a}^{3}}{2}+\frac{2}{a}-ln2$，
令g（x）=$2lnx-\frac{{x}^{3}}{2}+\frac{2}{x}-ln2$（0＜x＜1），
则${g}^{′}（x）=\frac{2}{x}-\frac{3}{2}{x}^{2}-\frac{2}{{x}^{2}}$=$\frac{4x-3{x}^{4}-4}{2{x}^{2}}$＜0．
∴g（x）在（0，1）上为减函数，
∵x∈（0，1）时，g（x）＞g（1）=2ln1-$\frac{1}{2}$+2-ln2=$\frac{3}{2}-ln2＞0$．
∴0＜a＜1时，$f（\;\frac{a^2}{2}\;）＞0$；
（3）由f（x）=lnx-ax+$\frac{a}{x}$，得${f}^{′}（x）=\frac{1}{x}-a-\frac{a}{{x}^{2}}=\frac{x-a{x}^{2}-a}{{x}^{2}}$=$\frac{-a{x}^{2}+x-a}{{x}^{2}}$．
当a=0时，${f}^{′}（x）=\frac{1}{x}＞0$，f（x）为（0，+∞）上的增函数，不符合题意；
当a＜0时，${f}^{′}（x）=\frac{-a{x}^{2}+x-a}{{x}^{2}}＞0$，f（x）为（0，+∞）上的增函数，不符合题意；
当a＞0时，由△=1-4a²＞0，得0$＜a＜\frac{1}{2}$．
则当x∈（0，$\frac{1-\sqrt{1-4{a}^{2}}}{2a}$），（$\frac{1+\sqrt{1-4{a}^{2}}}{2a}，+∞$）时，f′（x）＜0；
当x∈（$\frac{1-\sqrt{1-4{a}^{2}}}{2a}，\frac{1+\sqrt{1-4{a}^{2}}}{2a}$）时，f′（x）＞0．
设${x}_{1}=\frac{1-\sqrt{1-4{a}^{2}}}{2a}，{x}_{2}=\frac{1+\sqrt{1-4{a}^{2}}}{2a}$，则x₁＜1，x₂＞1，
∵f（x）在（x₁，1）上递增，∴f（x₁）＜f（1）=0，
又$f（\frac{{a}^{2}}{2}）＞0$，∴存在${x}_{0}∈（\frac{{a}^{2}}{2}，{x}_{1}）$，使得f（x₀）=0，
又$f（\frac{1}{{x}_{0}}）=-f（{x}_{0}）=0$，f（1）=0，
∴f（x）恰有三个不同的零点${x}_{0}，1，\frac{1}{{x}_{0}}$．
综上，使f（x）存在三个不同的零点时的实数a的取值范围是（0，$\frac{1}{2}$）．

点评 本题考查了函数性质的应用，考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，训练了函数最值的求法，考查了利用导数判断函数零点的方法，着重考查了数学转化思想的应用，是难度较大的题目．