Question

10．一个盒子内装有8张卡片，每张卡片上面写着1个数字，这8个数字各不相同，且奇数有3个，偶数有5个．每张卡片被取出的概率相等．
（1）如果从盒子中一次随机取出2张卡片，并且将取出的2张卡片上的数字相加得到一个新数，求所得新数是奇数的概率；
（2）现从盒子中一次随机取出1张卡片，每次取出的卡片都不放回盒子，若取出的卡片上写着的数是偶数则停止取出卡片，否则继续取出卡片．设取出了ξ次才停止取出卡片，求ξ的分布列和数学期望．

Answer 1

分析 （1）直接利用古典概型的概率公式求解即可．
（2）从盒子中依次抽取卡片，每次抽取一张，取出的卡片不放回，当取到一张记有偶数的卡片即停止抽取，由题意知抽取的次数可能的取值是1、2、3、4，求出概率的分布列，然后求解期望．

解答 （本小题满分12分）
解：（1）记事件A为“任取2张卡片，将卡片上的数字相加得到的新数是奇数”，…（1分）
因为奇数加偶数可得奇数，所以$P（A）=\frac{C_3^1•C_5^1}{C_8^2}=\frac{15}{28}$
所以所得新数是奇数的概率等于$\frac{15}{28}$． …（4分）
（2）ξ所有可能的取值为1，2，3，4，…（5分）
根据题意得P（ξ=1）=$\frac{{C}_{5}^{1}}{{C}_{8}^{1}}=\frac{5}{8}$，P（ξ=2）=$\frac{{C}_{3}^{1}}{{C}_{8}^{1}}•\frac{{C}_{5}^{1}}{{C}_{7}^{1}}=\frac{15}{56}$，P（ξ=3）=$\frac{{C}_{3}^{1}}{{C}_{8}^{1}}•\frac{{C}_{2}^{1}}{{C}_{7}^{1}}•\frac{{C}_{5}^{1}}{{C}_{6}^{1}}=\frac{5}{56}$，
P（ξ=4）=$\frac{{C}_{3}^{1}}{{C}_{8}^{1}}•\frac{{C}_{2}^{1}}{{C}_{7}^{1}}•\frac{{C}_{1}^{1}}{{C}_{6}^{1}}•\frac{{C}_{5}^{1}}{{C}_{5}^{1}}=\frac{1}{56}$…（9分）
故t=3的分布列为

ξ	1	2	3	4
P	$\frac{5}{8}$	$\frac{15}{56}$	$\frac{5}{56}$	$\frac{1}{56}$

…（10分）
E（ξ）=$1×\frac{5}{8}+2×\frac{15}{56}+3×\frac{5}{56}+4×\frac{1}{56}=\frac{3}{2}$．…（12分）

点评 本题主要考查排列组合、古典概型、随机变量的分布列等基础知识，考查学生运用所学知识解决实际应用问题的能力．