Question

（本题满分15分）
已知函数f (x )=ax ³ + x² + 2 ( a ≠ 0 ) ．
(Ⅰ) 试讨论函数f (x )的单调性；
(Ⅱ) 若a>0，求函数f (x ) 在［1，2］上的最大值．

Answer 1

解： (1) ①当a>0时， f(x)在（-∞,0),上是减函数，在上是增函数.
②当a<0时， f(x)在（-∞, ),(0, +∞)上是增函数，在(,0)上是减函数.
(2)当0<<1时，f(x)的最大值为３－,
当1≤≤2时，f(x)的最大值为,
当>2时，f(x)的最大值为. 

本试题主要是考查了函数单调性和函数最值的求解的综合运用。
（1）根据已知条件，对于参数a进行分类讨论，判定单调性得到结论。
（2）在第一问的基础上，进一步对于不同情况下的单调性分别研究得到最值。
选做题：（参加IB学习的学生必须做，不参加IB学习的学生原则上不要做）
题目：（本题满分值为10分）
解： (1)  ∵f(x)=－ax³+x²+2(a≠0),∴= -ax²+2x.  
①当a>0时，令>0,即-ax²+2x>0,得0<x<.
∴f(x)在（-∞,0),上是减函数，在上是增函数. ………………4分
②当a<0时，令>0,即-ax²+2x>0,得x>0，或x<.
∴f(x)在（-∞, ),(0, +∞)上是增函数，在(,0)上是减函数.………………8分
(2)由（１）得：
①当0<<1,即a>2时,f(x）在（1，2）上是减函数,
∴f（x）_max=f（1）=３－.        ……………10分
②当1≤≤2,即1≤a≤2时，f(x)在上是增函数，在上是减函数，
∴f(x)_max=f=.                 ………12分
③当>2时，即0<<1时，f(x)在（1，2）上是增函数，
∴f（x）_max=f（2）=.      ……………14分
综上所述，当0<<1时，f(x)的最大值为３－,
当1≤≤2时，f(x)的最大值为,
当>2时，f(x)的最大值为.  ………………15分