Question

2．已知正数a，b满足a+b=4．
（1）求ab的取值范围；
（2）求$\frac{2}{a}+\frac{1}{b}$的最小值；
（3）$\sqrt{a+1}$+$\sqrt{b+1}$的最大值；
（4）（a+$\frac{9}{a}$）（b+$\frac{9}{b}$）的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用基本不等式a+b≥2$\sqrt{ab}$，得出ab≤${（\frac{a+b}{2}）}^{2}$，从而求出ab的取值范围；
（2）把a+b=4变形为1=$\frac{a}{4}$+$\frac{b}{4}$，代入$\frac{2}{a}+\frac{1}{b}$中，再利用基本不等式求出它的最小值；
（3）设y=$\sqrt{a+1}$+$\sqrt{b+1}$，求出y²，再利用基本不等式求出它的最大值；
（4）把（a+$\frac{9}{a}$）（b+$\frac{9}{b}$）展开，利用基本不等式求出它的最小值．

解答 解：（1）∵a＞0，b＞0，
且a+b=4；
∴a+b≥2$\sqrt{ab}$，即ab≤${（\frac{a+b}{2}）}^{2}$=${（\frac{4}{2}）}^{2}$=4，
当且仅当a=b=2时，“=”成立，
又ab＞0，
∴ab的取值范围是（0，4]；
（2）∵a+b=4，
∴$\frac{a}{4}$+$\frac{b}{4}$=1，
∴$\frac{2}{a}+\frac{1}{b}$=$\frac{a+b}{2a}$+$\frac{a+b}{4b}$
=$\frac{1}{2}$+$\frac{b}{2a}$+$\frac{a}{4b}$+$\frac{1}{4}$≥2$\sqrt{\frac{b}{2a}•\frac{a}{4b}}$+$\frac{3}{4}$
=2×$\sqrt{\frac{1}{8}}$+$\frac{3}{4}$
=$\frac{2\sqrt{2}+3}{4}$，
当且仅当$\frac{b}{2a}$=$\frac{a}{4b}$，即a=$\frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{2}+1}$，b=$\frac{4}{\sqrt{2}+1}$时，“=”成立；
∴所求的最小值为$\frac{2\sqrt{2}+3}{4}$；
（3）设y=$\sqrt{a+1}$+$\sqrt{b+1}$＞0，
∴y²=（a+1）+（b+1）+2$\sqrt{（a+1）（b+1）}$
=（a+b）+2+2$\sqrt{ab+（a+b）+1}$
=6+2$\sqrt{ab+5}$；
∵ab≤${（\frac{a+b}{2}）}^{2}$=${（\frac{4}{2}）}^{2}$=4，
当且仅当a=b=2时，取“=”，
∴y²≤6+2$\sqrt{4+5}$=12，
∴y≤2$\sqrt{3}$，
即$\sqrt{a+1}$+$\sqrt{b+1}$的最大值为2$\sqrt{3}$；
（4）∵（a+$\frac{9}{a}$）（b+$\frac{9}{b}$）=ab+$\frac{9a}{b}$+$\frac{9b}{a}$+$\frac{81}{ab}$
=（ab+$\frac{81}{ab}$）+（$\frac{9a}{b}$+$\frac{9b}{a}$），
且$\frac{9a}{b}$+$\frac{9b}{a}$≥9×2$\sqrt{\frac{a}{b}•\frac{b}{a}}$=18，
当且仅当a=b=2时，“=”成立，
此时ab+$\frac{81}{ab}$取得最小值4+$\frac{81}{4}$，
∴（a+$\frac{9}{a}$）（b+$\frac{9}{b}$）的最小值为18+4+$\frac{81}{4}$=$\frac{169}{4}$．

点评 本题考查了利用基本不等式a+b≥2$\sqrt{ab}$（其中a＞0，b＞0）求函数的最值问题，是基础题目．