题目内容
已知椭圆的左、右焦点为F1,F2,且离心率为.
(1)若过F1的直线交椭圆E于P,Q两点,且,求直线PQ的斜率;
(2)若椭圆E过点(0,1),且过F1作两条互相垂直的直线,它们分别交椭圆E于A,C和B,D,求四边形ABCD面积的最大值和最小值.
解:(1)设椭圆的左准线为l,作PD⊥x轴于D,作PN⊥l于N,由第二定义得|PN|=|PF1|.
作QM⊥l于M,得|QM|=|F1Q|=|PF1|,
作QE⊥PN于E,交轴于点A得|EP|=4|AF1|=|PF1|,
∴|F1D|=3|AF1|=|PF1|,
∴|PD|=|PF1|,
∴直线PQ的斜率为±=;
(2)由题意,b=1,又,∴a=2,b=1,c=,
∴椭圆方程为.
∵DB、AC为过焦点的两条直线,∴当AC为2a,DB⊥x轴时,面积有最大值,最大值为2;
当两条直线斜率都存在时,F1(-,0),设直线AC的方程为y=k(x-)
与椭圆联立消去y,()x2-x+3k2-1=0
设A(x1,y1),C(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=
∴|AC|=|x1-x2|==
同理可得|BD|=,
∴四边形ABCD面积为S=|AC||BD|=×
令t=,则t≥2,∴S=×=2×=2(1-)
∵t≥2,∴,∴≤S<2
∴四边形ABCD面积最小值为.
分析:(1)利用椭圆的第二定义,构建三角形,求得三边长,即可求得直线PQ的斜率;
(2)求出椭圆方程,当AC为2a,DB⊥x轴时,面积有最大值,最大值为2;当两条直线斜率都存在时,求出AC,BD的长,表示出四边形ABCD面积为S=|AC||BD|,利用基本不等式,即可求得结论.
点评:本题考查椭圆的第二定义,考查直线与椭圆的位置关系,考查四边形面积的计算,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.
作QM⊥l于M,得|QM|=|F1Q|=|PF1|,
作QE⊥PN于E,交轴于点A得|EP|=4|AF1|=|PF1|,
∴|F1D|=3|AF1|=|PF1|,
∴|PD|=|PF1|,
∴直线PQ的斜率为±=;
(2)由题意,b=1,又,∴a=2,b=1,c=,
∴椭圆方程为.
∵DB、AC为过焦点的两条直线,∴当AC为2a,DB⊥x轴时,面积有最大值,最大值为2;
当两条直线斜率都存在时,F1(-,0),设直线AC的方程为y=k(x-)
与椭圆联立消去y,()x2-x+3k2-1=0
设A(x1,y1),C(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=
∴|AC|=|x1-x2|==
同理可得|BD|=,
∴四边形ABCD面积为S=|AC||BD|=×
令t=,则t≥2,∴S=×=2×=2(1-)
∵t≥2,∴,∴≤S<2
∴四边形ABCD面积最小值为.
分析:(1)利用椭圆的第二定义,构建三角形,求得三边长,即可求得直线PQ的斜率;
(2)求出椭圆方程,当AC为2a,DB⊥x轴时,面积有最大值,最大值为2;当两条直线斜率都存在时,求出AC,BD的长,表示出四边形ABCD面积为S=|AC||BD|,利用基本不等式,即可求得结论.
点评:本题考查椭圆的第二定义,考查直线与椭圆的位置关系,考查四边形面积的计算,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.
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