Question

16．设椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A₁，A₂，与长轴垂直的直线与椭圆交于两点M₁，M₂，求直线A₁M₁与A₂M₂交点P的轨迹方程．

Answer 1

分析 求出与椭圆交于两点M₁，M₂，设A₁（-a，0），A₂（a，0），M₁（t，b$\sqrt{1-\frac{{t}^{2}}{{a}^{2}}}$），M₂（t，-b$\sqrt{1-\frac{{t}^{2}}{{a}^{2}}}$），求得直线A₁M₁与A₂M₂的方程，联立消去t，即可得到所求P的轨迹方程．

解答 解：令与长轴垂直的直线x=t，代入椭圆方程可得y=±b$\sqrt{1-\frac{{t}^{2}}{{a}^{2}}}$），
设A₁（-a，0），A₂（a，0），M₁（t，b$\sqrt{1-\frac{{t}^{2}}{{a}^{2}}}$），M₂（t，-b$\sqrt{1-\frac{{t}^{2}}{{a}^{2}}}$），
直线A₁M₁与的方程为y=$\frac{b\sqrt{1-\frac{{t}^{2}}{{a}^{2}}}}{t+a}$（x+a），①
直线A₂M₂的方程为y=$\frac{-b\sqrt{1-\frac{{t}^{2}}{{a}^{2}}}}{t-a}$（x-a），②
联立①②，解得x=$\frac{{a}^{2}}{t}$，即为t=$\frac{{a}^{2}}{x}$，代入①，
化简可得P的轨迹方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1．

点评 本题考查椭圆的方程的运用，考查轨迹方程的求法，注意运用代入消元法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．