题目内容

已知椭圆的长轴长为，焦点是，点到直线的距离为，过点且倾斜角为锐角的直线与椭圆交于A、B两点，使得.

(1)求椭圆的标准方程；           (2)求直线l的方程．

【解析】（1）中利用点F1到直线x＝－的距离为可知－＋＝.得到a2＝4而c＝，∴b2＝a2－c2＝1.

得到椭圆的方程。（2）中，利用，设出点A(x1，y1)、B(x2，y2)．，借助于向量公式再利用 A、B在椭圆＋y2＝1上， 得到坐标的值，然后求解得到直线方程。

解:(1)∵F1到直线x＝－的距离为，∴－＋＝.

∴a2＝4而c＝，∴b2＝a2－c2＝1.

∵椭圆的焦点在x轴上，∴所求椭圆的方程为＋y2＝1.……4分

(2)设A(x1，y1)、B(x2，y2)．由第(1)问知

,

∴……6分

∵A、B在椭圆＋y2＝1上，

∴……10分

∴l的斜率为＝.

∴l的方程为y＝(x－)，即x－y－＝0.

 

【答案】

(1) ＋y2＝1.(2) x－y－＝0.

 

练习册系列答案
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已知以F1（-2，0），F2（2，0）为焦点的椭圆与直线x+
3
y+4=0有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为（　　）
A、3
2
B、2
6
C、2
7
D、4
2
已知椭圆的长轴长为2a，焦点是F1(-
3
，0)，F2(
3
，0)，点F1到直线x=-
a2
3
的距离为
3
3
，过点F2且倾斜角为锐角的直线l与椭圆交于A，B两点，使得
BF2
=3
F2A
．
（1）求椭圆的方程；
（2）求直线l的方程．
根据下列条件求椭圆或双曲线的标准方程．
（Ⅰ）已知椭圆的长轴长为6，一个焦点为（2，0），求该椭圆的标准方程．
（Ⅱ）已知双曲线过点P(
5
，
1
2
)，渐近线方程为x±2y=0，且焦点在x轴上，求该双曲线的标准方程．
（选修4-4：坐标系与参数方程）
已知椭圆的长轴长为6，焦距F1F2=4
2
，过椭圆左焦点F1作一直线，交椭圆于两点M、N，设∠F2F1M=α（0≤α＜π），当α为何值时，MN与椭圆短轴长相等？（用极坐标或参数方程方程求解）

已知椭圆的长轴长为4，且点在椭圆上．

(Ⅰ)求椭圆的方程；

(Ⅱ)过椭圆右焦点的直线l交椭圆于A，B两点，若以AB为直径的圆过原点，求直线l方程．

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