Question

已知椭圆的长轴长为2a，焦点是F1(-

3

，0)，F2(

3

，0)，点F₁到直线x=-

a2

3

的距离为

3

3

，过点F₂且倾斜角为锐角的直线l与椭圆交于A，B两点，使得

BF2

=3

F2A

．
（1）求椭圆的方程；
（2）求直线l的方程．

Answer 1

分析：（1）首先由点F₁到直线x=-

a2

3

的距离为

3

3

列式求出a²的值，然后利用条件b²=a²-c²求出b²，则椭圆的方程可求；
（2）设出直线l与椭圆两个交点A，B的坐标，由

BF2

=3

F2A

得到两个交点坐标的关系式，把两个交点的坐标代入椭圆方程后可求其中一个交点的坐标，由两点式求出直线l的斜率，则直线l的方程可求．

解答：解：（1）∵F₁到直线x=-

a2

3

的距离为

3

3

，∴|-

3

+

a2

3

|=

3

3

⇒a2=4．
而c²=3，∴b²=a²-c²=4-3=1，所求椭圆的方程为

x2

4

+y2=1；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），不妨设A为第一象限的点，且F2(

3

，0)，
∵

BF2

=3

F2A

，∴

3 -x2=3(x1- 3 ) 0-y2=3(y1-0)

⇒

x2=4 3 -3x1 y2=-3y1

，
又∵A，B在椭圆

x2

4

+y2=1上，∴

x12+4y12=4 (4 3 -3x1)2+4(-3y1)2=4

⇒

x1= 10 3 3 y1= 2 3 3

（取正值），
∴l的斜率为k=

2 3 3 -0

10 3 3 - 3

=

2

．
∴l的方程为y=

2

(x-

3

)，即

2

x-y-

6

=0．

点评：本题考查了椭圆标准方程的求法，考查了直线和圆锥曲线的交点问题，解答此题的关键是利用向量找到两交点坐标的关系，考查了学生的运算能力，训练了直线方程的点斜式，是中档题．