Question

【题目】在体积为72的直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=3，AC=4，AA1=12．

（1）求角∠BAC的大小；
（2）若该三棱柱的六个顶点都在球O的球面上，求球O的体积．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵体积为72的直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=3，AC=4，AA1=12，

∴ ，

∴∠BAC=90°

（2）解：如图，由于∠BAC=90°，连接上下底面外心PQ，

O为PQ的中点，OP⊥平面ABC，则球的半径为OB，

由题意，AB=3，AC=4，∠BAC=90°，所以BC=5，

因为AA1=12，所以OP=6，

所以OB= =

所以球的体积为： π×OB3= ．

【解析】（1）利用三棱柱的体积公式，结合三角形的面积公式，求∠BAC的大小；（2）画出球的内接直三棱ABC﹣A1B1C1 ， 求出球的半径，然后可求球的体积．