Question

（本小题满分14分）

如图，四棱锥中，是正三角形，四边形是矩形，且平面平面，，．

 (Ⅰ) 若点是的中点，求证：平面；

（II）试问点在线段上什么位置时，二面角的余弦值为.

 

Answer 1

【答案】

．（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）．

【解析】本试题主要是考查了立体几何中的二面角的求解，以及线面平行证明的综合运用。

（1）设，交于点，连接，易知为的中位线，故，又平面，平面，得平面

（2）合理的建立空间直角坐标系，然后求解平面的法向量，运用法向量与法向量的夹角来表示二面角的平面角的大小得到结论。

（Ⅰ）证明：设，交于点，连接，易知为的中位线，故，又平面，平面，得平面．………4分

（Ⅱ）解：如图，建立空间直角坐标系，

 

在中，斜边，，得∴,,．设，得．

设平面的一个法向量为，由，即，，取，得．

而平面的法向量，∴由题得，

即，解得（舍去）或．

∴当点在线段的中点时，二面角的余弦值为．…………14分