题目内容
【题目】已知函数,曲线
在点
处的切线在y轴上的截距为
.
(1)求a;
(2)讨论函数和
的单调性;
(3)设,求证:
.
【答案】(1) (2)
为减函数,
为增函数. (3)证明见解析
【解析】
(1)求出导函数,求出切线方程,令
得切线的纵截距,可得
(必须利用函数的单调性求解);
(2)求函数的导数,由导数的正负确定单调性;
(3)不等式变形为
,由
递减,得
(
),即
,即
,依次放缩,
.
不等式,
递增得
(
),
,
,
,先证
,然后同样放缩得出结论.
解:(1)对求导,得
.
因此.又因为
,
所以曲线在点
处的切线方程为
,
即.
由题意,.
显然,适合上式.
令,
求导得,
因此为增函数:故
是唯一解.
(2)由(1)可知,,
因为,
所以为减函数.
因为,
所以为增函数.
(3)证明:由,易得
.
由(2)可知,在
上为减函数.
因此,当时,
,即
.
令,得
,即
.
因此,当时,
.
所以成立.
下面证明:.
由(2)可知,在
上为增函数.
因此,当时,
,
即.
因此,
即.
令,得
,
即.
当时,
.
因为,
所以,所以
.
所以,当时,
.
所以,当时,
成立.
综上所述,当时,
成立.
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