Question

8．已知m∈R，n∈R，并且m+3n=1，则me^m+3ne³ⁿ的最小值$\sqrt{e}$．

Answer 1

分析 先根据等式将n消去，构造函数f（m）=m•e^m+3n•e³ⁿ=m•e^m+（1-m）•e^1-m 然后讨论m，研究函数的单调性求出最小值即可．

解答 解：∵3n=1-m，
∴f（m）=m•e^m+3n•e³ⁿ=m•e^m+（1-m）•e^1-m
令g（m）=m•e^m，h（m）=（1-m）•e^1-m
当m≤0时，h（m）为减函数，且h（m）≥h（0）=e，
g（m）=-|m|•e^-|m|由于从y=x与y=e^x的图象易知，|m|≤e^|m|，
所以|m|•e^-|m|≤$\frac{1}{e}$，
g（m）=-|m|•e^-|m|≥-$\frac{1}{e}$，
f（m）=g（m）+h（m）≥-$\frac{1}{e}$+e，
当m≥$\frac{1}{2}$时，由g（m）与h（m）关于x=$\frac{1}{2}$对称，同上可得f（m）≥e-$\frac{1}{e}$，
当 0＜m＜$\frac{1}{2}$时，g（0）=h（1）=0，g（1）=h（0）=e，
g′（m）=（m+1）e^m＞0，h′（m）=-（2-m）e^1-m＜0
且g′（m），h′（m）均为单调递增，
当0＜m＜$\frac{1}{2}$时，g′（m）＜g′（$\frac{1}{2}$）=$\frac{3}{2}$$\sqrt{e}$，h′（m）＜h′（$\frac{1}{2}$）=-$\frac{3}{2}$$\sqrt{e}$，
f′（m）=g′（m）+h′（m）＜0单调递减，
当$\frac{1}{2}$≤m＜1时，同理，可得f′（m）=g′（m）+h′（m）≥g′（$\frac{1}{2}$）+h′（$\frac{1}{2}$）=0单调递增
（当m=$\frac{1}{2}$时等号成立）
所以当m=$\frac{1}{2}$时，f（m）取最小值，
即当m=$\frac{1}{2}$，n=$\frac{1}{6}$时，me^m+3ne³ⁿ的最小值为$\sqrt{e}$．
故答案为：$\sqrt{e}$．

点评 本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，同时考查了分类讨论的数学思想和转化的思想，属于难题．