题目内容
如图,在Rt△ABC中,∠CAB=90°,|AB|=2,
|AC|=,一曲线E过点C,且曲线E上任一点到A,B两点的距离之和不变.
(1)建立适当的坐标系,求曲线E的方程;
(2)设点Q是曲线E上的一动点,求线段QA中点的轨迹方程;
(3)设M,N是曲线E上不同的两点,直线CM和CN的倾斜角互补,试判断直线MN的斜率是否为定值.如果是,求这个定值;如果不是,请说明理由.
(4)若点D是曲线E上的任一定点(除曲线E与直线AB的交点),M,N是曲线E上不同的两点,直线DM和DN的倾斜角互补,直线MN的斜率是否为定值呢?如果是,请你指出这个定值.(本小题不必写出解答过程)

(1)以AB的中点为原点,AB所在直线为x轴建立直角坐标系.
∵|CA|+|CB|=4[(1分)]
不难知道:曲线E是以A,B为两焦点、长轴长为4的椭圆.
故曲线E的方程为
+=1,
(2)设线段QA的中点为P(x,y),∵A(-1,0),
∴Q(2x+1,2y)[(5分)]
∵点Q在曲线E上,故可得:
+=1[(7分)]
即线段QA中点的轨迹方程为
(x+)2+=1[(8分)]
(3)设直线CM和CN的斜率分别为k,-k
直线CM的直线方程为
y-=k(x+1)代入曲线E的方程,得
(3+4k2)x2+8k(k+)x+4k2+12k-3=0[(9分)]
由韦达定理:
xC•xM=,

∴
xM=-同理
xN=-[(10分)]
而
yM-=k(xM+1),
yN-=-k(xN+1)∴
kMN====故直线MN的斜率为定值
[(12分)]
(4)设D(a,b),当直线DM和DN的倾斜角都为90°时,直线MN即为D'(a,-b)处的切线,则直线MN的斜率为定值

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