题目内容
【题目】已知函数.
(1)若函数存在不小于
的极小值,求实数
的取值范围;
(2)当时,若对
,不等式
恒成立,求实数
的取值范围.
【答案】(1);(2)
.
【解析】
(1)利用导数分析函数的单调性,求出函数
的极值,然后令极值大于等于
,解出不等式可得出实数
的取值范围;
(2)构造函数,问题等价于
,对实数
进行分类讨论,分析函数
在区间
上的单调性,结合条件
可得出实数
的取值范围.
(1)函数的定义域为
,
.
当时,
,函数
在区间
上单调递减,
此时,函数无极值;
当时,令
,得
,
又当时,
;当
时,
.
所以,函数在
时取得极小值,且极小值为
.
令,即
,得
.
综上所述,实数的取值范围为
;
(2)当时,问题等价于
,
记,
由(1)知,在区间
上单调递减,
所以在区间
上单调递增,所以
,
①当时,由
可知,所以
成立;
②当时,
的导函数为
恒成立,所以
在区间
上单调递增,
所以.
所以,函数在区间
上单调递增,从而
,命题成立.
③当时,显然
在区间
上单调递增,
记,则
,当
时,
,
所以,函数在区间
上为增函数,即当
时,
.
,
,
所以在区间内,存在唯一的
,使得
,
且当时,
,即当
时,
,不符合题意,舍去.
综上所述,实数的取值范围是
.
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